Dem war bestimmt zu kalt bei euch
Das hast du ganz richtig gemacht: Katzen sollte man beim Nachhausekommen nach so langer Zeit nie strafen sondern immer in den höchsten Tönen loben - sonst kommen sie beim nächsten Mal evtl. gar nicht mehr wieder. Denen ist ja auch egal, was man sich für Sorgen macht und man kann es ihnen schwerlich erklären

Untersuch ihn mal gut auf Verletzungen etc. Wer weiß, wo der Ärmste gesteckt hat, dass er nicht nach Hause konnte. Oder ist er etwa unkastriert?
Will euch die Vermieterin denn raus aus dem Haus haben? Dachte, ihr wärt da gerade voriges Jahr erst eingezogen
Wenn ich es wäre, hätte ich längst den RA eingeschaltet und Mietminderung geltend gemacht. In einem solchen Winter bei den Temperaturen in eurer Bude dürfte das pro Monat sicher nicht wenig gewesen sein. Die Hälfte schätze ich mal mindestens. Je länger ihr mit sowas wartet, desto weniger wird es im Nachhinein akzeptiert. Nach dem Motto: so schlimm scheint es doch nicht gewesen zu sein, wenn sie das über Monate einfach so mitgemacht haben. Dauernde Telefonate sind schwer nachweisbar! Da setzt man schriftlich eine Forderung auf, setzt kurz darauf ein Frist von 1 Woche und dann ab zum Anwalt. Eine Bleibe muss bei diesen Außentemperaturen vernünftig zu beheizen sein oder es muss ausdrücklich im Mietvertrag vermerkt stehen, dass die Bude sich nicht heizen lässt.
Die Vormieter ausfindig machen wegen Zeugenaussagen, wie es bei denen denn aussah. Zeugen sammeln, die sich in eurer Wohnung von den dortigen Verhältnissen (gerade Temperatur) überzeugen konnten. Wie wollt ihr im Frühjahr oder Sommer das einem Richter verständlich machen?
Solange die nicht Post vom Anwalt bekommen passiert bei solchen Vermietern nichts! Für die ist das eine Methode Geld zu kassieren, ohne was dafür leisten zu müssen. Schon aufgrund dieses Droh-Anrufs würde ich stantepede einen Anwalt aufsuchen und kurze Fuffzehn machen. Miete ab sofort komplett einbehalten, falls ihr nicht schon Mietkürzungen über den Winter vorgenommen habt. Falls ja: nochmal kürzen, da bisher nichts passiert ist. Bei einem evtl. Telefonat durchblicken lassen, dass ihr euch auf jeden, der sich die Bude angucken kommt (die wollen doch verkaufen, oder verstehe ich das falsch?), freut, da ihr schon ganz gespannt auf dessen Gesicht seid, wenn ihr ihn über den baulichen Zustand der Hütte aufklärt.
Ich würde das gar nicht weiter tolerieren, was die da abziehen. Man ist ja schließlich nicht im Wilden Westen hier